Model obliczeniowy
Teorii ciąg dalszy
Układem rzeczywistym nazywamy pewien obszar w przestrzeni obejmujący ośrodek ciągły, obiekt techniczny istniejący w rzeczywistości lub projekt obiektu. Badania teoretyczne zachowania się obiektu rzeczywistego, na skutek oddziaływań zewnętrznych lub przemian wewnętrznych procesy chemiczne, termiczne), wymagają stworzenia pewnego modelu myślowego, który wraz ze zbiorem formuł opisujących jego własności nazywany jest modelem matematycznym.
Dla danego obiektu rzeczywistego można opracować różne modele matematyczne w zależności od przyjętych założeń, poczynionych uproszczeń oraz sposobu opisu zachodzących procesów fizycznych. Uproszczenia, poczynione przy opracowywaniu modelu, ułatwiają jego opis, jednakże mają one wpływ na dokładność poszukiwanego rozwiązania. Daleko idące uproszczenia mogą spowodować pominięcie istotnych cech układu rzeczywistego, natomiast zbyt złożony model matematyczny może spowodować błędy w rozwiązaniu ze względu na skomplikowany proces obliczeniowy.
Nie ma jednoznacznych wskazań, jak należy budować model matematyczny. Proces ten musi być oparty na intuicji i doświadczeniu inżynierskim. Najczęściej stosowane uproszczenia techniczne są następujące:
- uproszczenia kształtu rozważanego obszaru,
- pomijanie mało istotnych oddziaływań zewnętrznych,
- przyjęcie jednorodności ośrodka zawartego w danym obszarze,
- pominięcie (dla zagadnień mechaniki) odkształceń lub ciężaru niektórych elementów układu,
- przyjęcie liniowych charakterystyk dla pewnych własności fizycznych badanego układu,
- założenie, że własności fizyczne są stałe w czasie,
- przybliżenie procesów stochastycznych, zachodzących w układzie rzeczywistym, procesami deterministycznymi.
Rozwiązując zadanie MES, należy utworzyć model matematyczny zawierający następujące elementy:
- opis powierzchni S ograniczającej obszar V, wewnątrz którego poszukujemy rozwiązania,
- równania różniczkowe opisujące stan ciała w obszarze V,
- warunki brzegowe na powierzchni S oraz warunki ciągłości,
- wymuszenia, czyli pewne zewnętrzne przyczyny wywołujące skutki określone równaniem stanu.
Stosując do rozwiązania zadania mechaniki MES, musimy opracować model dyskretny (obliczeniowy) ekwiwalentny do modelu matematycznego ośrodka ciągłego. W procesie tworzenia tego modelu można wyodrębnić następujące etapy postępowania:
- Podział rozpatrywanego obszaru V na podobszary Ve — elementy.
- Przyjęcie punktów węzłowych tak, aby można było przeprowadzić aproksymację poszukiwanej funkcji wewnątrz obszaru Ve za pomocą funkcji aproksymujących i niezależnych parametrów węzłowych.
- Określenie dla każdego elementu struktury macierzy opisujących jego własności.
- Utworzenie macierzy dla całego układu na podstawie macierzy elementów.
- Określenie warunków brzegowych i obciążenia ciała.
- Rozwiązanie podstawowego układu równań.
- Obliczenie, na podstawie wyznaczonych parametrów węzłowych, funkcji pochodnych.