Sformułowanie numeryczne problemu

Czyli jak to ugryźć komputerem

Rozwiązywanie problemów przy pomocy MES, w tym również symulacja procesu filtracji wody w gruncie, składa się z kilku etapów:

• zbudowanie modelu obliczeniowego – polega na podziale rozpatrywanego obszaru na elementy wraz z przyjęciem ich typu i parametrów węzłowych,
• analiza poszczególnych elementów – polega na wyliczeniu macierzy sztywności (zagadnienia mechaniki) lub przewodności hydraulicznej (zagadnienia filtracji) wraz z przyjęciem odpowiednich funkcji interpolacyjnych, które służą do przybliżonego określania pola poszukiwanych wartości i stanowią o zbieżności procesu obliczeniowego,
• analiza zbioru elementów układu obliczeniowego – na tym etapie odbywa się tworzenie globalnej macierzy przewodności hydraulicznej, ilość równań macierzy równa jest liczbie węzłów w schemacie,
• ustalenie warunków brzegowych – polega na takiej modyfikacji globalnej macierzy przewodności hydraulicznej, aby stała się ona macierzą nieosobliwą, a osiąga się to przez wpisanie zer w wiersze oraz kolumny odpowiadające węzłom o znanych potencjałach i jedynki na głównej przekątnej,
• rozwiązanie globalnego układu równań – czyli wyznaczenie niewiadomych przy wykorzystaniu pasmowości i symetrii globalnej macierzy przewodności hydraulicznej,
• obliczenie wymaganych wielkości na poziomie punktów Gaussa – przy użyciu funkcji kształtu na podstawie otrzymanych w poprzednim kroku wyników obliczane są wymagane wielkości,
• prezentacja wyników – polega na ich wyświetleniu na ekranie monitora (na przykład w postaci linii ekwipotencjalnych) lub wydrukowaniu w formie umożliwiającej ich późniejszą interpretację.

Wszystkie wyżej wymienione etapy zazwyczaj rozdzielone są między trzy moduły programu. Pierwszy z nich – preprocesor – odpowiedzialny jest za komunikację z użytkownikiem, czyli wprowadzenie danych niezbędnych do jednoznacznego zdefiniowania schematu obliczeniowego oraz przygotowanie danych do obliczeń (generowanie siatki). Segment drugi – moduł obliczeniowy (lub solver) – zajmuje się tylko wykonywaniem obliczeń. Zadaniem trzeciego modułu – postprocesora – jest przygotowanie otrzymanych wyników, a także ich prezentacja (przeważnie graficzna) oraz ewentualny wydruk.

Rozwiązywanie zagadnień filtracji metodą elementów skończonych, ze swobodną powierzchnią cieczy w gruncie (czyli poszukiwanie krzywej depresji), napotyka na trudności w jej modelowaniu spowodowane koniecznością zmiany obszaru modelowania. Opracowane metody polegają na dwojakim podejściu do tego zagadnienia.

Pierwszy sposób, nazywany metodą zmiennej siatki, polega na sprawdzeniu, po każdym kroku obliczeniowym, ciśnień hydrostatycznych w obszarze modelowania filtracji i znalezieniu punktów spełniających założenie o atmosferycznej wartości ciśnienia w punktach leżących na krzywej depresji. Po wyznaczeniu funkcji siatka elementów zostaje przebudowana w taki sposób, że w dalszych obliczeniach uwzględniany jest jedynie obszar poniżej zwierciadła wody.

Innym podejściem do problemu charakteryzuje się sposób drugi – metoda zmiennego współczynnika filtracji. Na początku obliczeń zakłada się stały układ węzłów siatki. Ich położenie jest niezmienne podczas przebiegu całych obliczeń. Siatka w swoim obrysie musi zmieścić domniemane położenie krzywej depresji. Po przygotowaniu danych i rozwiązaniu układu równań, na podstawie wyliczonych ciśnień wprowadzony zostaje podział obszaru na dwie części – nad linią depresji i pod nią. Strefa powyżej linii podziału jest strefą aeracji i obliczone w niej ciśnienia są mniejsze od atmosferycznego. Poniżej linii podziału – w strefie saturacji – ciśnienia są wyższe od atmosferycznego. Następnie wprowadzany jest mnożnik modyfikujący wartość współczynnika filtracji powyżej granicy do wartości bliskich zeru. Wygląda to więc w taki sposób, jakby linia depresji zawsze przylegała do gruntu nieprzepuszczalnego leżącego ponad nią. Dzięki zróżnicowaniu współczynnika filtracji w obszarze tym nie występuje żaden przepływ, a więc skutki podjętych działań są identyczne jak przy metodzie zmiennej siatki. Tutaj jednak nie stosuje się żmudnego procesu układania globalnej macierzy przewodności hydraulicznej w każdym kroku iteracyjnym (gdyż nie zmienia się geometria siatki), co wydatnie skraca czas obliczeń.

Jak wynika z powyższego opisu, metoda elementów skończonych, nadaje się doskonale do prowadzenia badań filtracji. Jedyną niedogodnością może być stosunkowo długi czas oczekiwania na wyniki obliczeń, lecz dzięki rosnącej wydajności obliczeniowej komputerów wkrótce przeszkoda ta zostanie pokonana.

Przy rozwiązywaniu zagadnień filtracji metodą elementów skończonych, z napiętym zwierciadłem wody gruntowej nie jest konieczna zmiana obszaru modelowania. Tak więc do uzyskania prawidłowych wyników nie potrzebna jest żadna modyfikacja schematu i wyniki uzyskane po pierwszym cyklu obliczeniowym są prawidłowe.